Question

9．已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且$PA=AD=DC=\frac{1}{2}$，AB=1，M是PB的中点．
（1）求AC与PB所成的角的余弦值；
（2）求PC与平面AMC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AC与PB所成的角的余弦值．
（2）求出平面AMC的法向量，由此利用向量法能求出PC与平面AMC所成角的正弦值．

解答 解：（1）以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，
A（0，0，0），C（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$，0），P（0，0，$\frac{1}{2}$），B（0，1，0），
$\overrightarrow{AC}$=（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$，0），$\overrightarrow{PB}$=（0，1，-$\frac{1}{2}$），
设AC与PB所成的角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{PB}|}{|\overrightarrow{AC}|•|\overrightarrow{PB}|}$=$\frac{|\frac{1}{2}|}{\sqrt{\frac{1}{2}}•\sqrt{\frac{5}{4}}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$．
∴AC与PB所成的角的余弦值为$\frac{{\sqrt{10}}}{5}$…．（6分）
（2）M（0，$\frac{1}{2}，\frac{1}{4}$），$\overrightarrow{PC}$=（$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}，-\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{AM}$=（0，$\frac{1}{2}，\frac{1}{4}$），$\overrightarrow{AC}$=（$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}，0$），
设平面AMC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}y+\frac{1}{4}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，2），
设PC与平面AMC所成角为α，
则sinα=$\frac{|\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|-1|}{\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
∴PC与平面AMC所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{6}}{6}$．…．（12分）

点评 本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查线面角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．