Question

19．指出函数y=f（a-x）与y=f（x-b）（a，b为常数）的对称性，并证明你的结论．

Answer 1

分析 设g（x）=f（a-x），h（x）=f（x-b），则g（$\frac{a+b}{2}+x$）=h（$\frac{a+b}{2}-x$）=f（$\frac{a-b}{2}-x$），于是对称轴为x=$\frac{a+b}{2}$．

解答 解：y=f（a-x）与y=f（x-b）关于直线x=$\frac{a+b}{2}$对称．
证明：设g（x）=f（a-x），h（x）=f（x-b），
则g（$\frac{a+b}{2}+x$）=f[a-（$\frac{a+b}{2}+x$）]=f（$\frac{a-b}{2}-x$），
h（$\frac{a+b}{2}-x$）=f（$\frac{a+b}{2}-x$-b）=f（$\frac{a-b}{2}-x$）．
∴g（$\frac{a+b}{2}+x$）=h（$\frac{a+b}{2}-x$）．
∴g（x）与h（x）关于直线x=$\frac{a+b}{2}$对称，
即y=f（a-x）与y=f（x-b）关于直线x=$\frac{a+b}{2}$对称．

点评 本题考查了抽象函数的图象变换，凑数找到对称轴是关键，属于中档题．