题目内容
7．（1）若$\frac{a}{tanA}$=$\frac{b}{tanB}$=$\frac{c}{tanC}$，判断△ABC的形状；（2）若sin2A+sin2B=1，且最大边c=12，求S的最大值；
（3）若5≤a≤7，7≤c≤8，且cosC=$\frac{2}{9}$，求S的最大值．
对问题（3）有同学给出如下解法：
S=$\frac{1}{2}$acsinB≤$\frac{1}{2}$×7×8×1=28，
当a=7，c=8，B=90°时，S与最大值28．
上述解法是否正确，请说明理由；若正确，试求$\frac{b}{a}$的取值范围，若不正确，给出求S最大值的正确解法．
分析 （1）由正弦定理，结合A、B、C都是三角形的内角，判断△ABC的形状；
（2）若sin2A+sin2B=1，△ABC为直角三角形，最大边c=12，利用基本不等式，即可求S的最大值；
（3）利用S=$\frac{1}{2}$absinC，sinC是定值，只需求ab的最大值．
解答 解：（1）由正弦定理，因为$\frac{a}{tanA}$=$\frac{b}{tanB}$=$\frac{c}{tanC}$，
所以cosA=cosB=cosC
因为A、B、C都是三角形的内角
所以A=B=C
所以△ABC为等边三角形；
（2）sin2A+sin2B=1，则sin2B=cos2A
因为最长边c=12，所以A，B均为锐角
所以，sinB=cosA，B=90°-A
所以，C=90°，△ABC为直角三角形
由勾股定理，得a2+b2=c2=144
（a-b）2≥0，a2+b2≥2ab
所以，ab≤$\frac{1}{2}$（a2+b2）=72
S△ABC=$\frac{1}{2}$ab≤$\frac{1}{4}$（a2+b2）=36
所以，当a=b时，△ABC的面积最大值=36；
（3）由余弦定理可得c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2-$\frac{4}{9}$ab≥2ab-$\frac{4}{9}$ab=$\frac{14}{9}$ab，
∵7≤c≤8，
∴64≥$\frac{14}{9}$ab，
∴ab≤$\frac{288}{7}$，
∵cosC=$\frac{2}{9}$，
∴sinC=$\frac{\sqrt{77}}{9}$
∴S≤$\frac{1}{2}×\frac{288}{7}×\frac{\sqrt{77}}{9}$，
∴S的最大值为$\frac{1}{2}×\frac{288}{7}×\frac{\sqrt{77}}{9}$=$\frac{144}{63}\sqrt{77}$．
点评 本题考查正弦定理、余弦定理，考查三角形面积的计算，考查基本不等式的运用，属于中档题．
| A． | $-\frac{3}{5}$ | B． | $\frac{4}{5}$ | C． | $-\frac{4}{3}$ | D． | -3 |
| A． | $\frac{1}{5}$ | B． | $\frac{3}{5}$ | C． | $\frac{2}{5}$ | D． | $\frac{4}{5}$ |
从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间[55，65），[65，75），[75，85]内的频率之比为4：2：1．