Question

4．在平面直角坐标系xOy中，动点A的坐标为（2-3sinα，3cosα-2），其中α∈R．在极坐标系（以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴）中，直线C的方程为ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=a
（Ⅰ）写出动点A的轨迹的参数方程并说明轨迹的形状；
（Ⅱ）若直线C与动点A的轨迹有且仅有一个公共点，求实数a的值．

Answer 1

分析 （I）将A的坐标写成参数方程，化成普通方程判断轨迹形状；
（II）求出曲线C的直角坐标方程，根据有一个交点得出两曲线相切，列出方程解出a．

解答 解：（I）设动点A（x，y），则A的轨迹的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2-3sinα}\\{y=3cosα-2}\end{array}\right.$，（α为参数）．
化成普通方程为（x-2）²+（y+2）²=9．∴A的轨迹为以（2，-2）为圆心，以3为半径的圆．
（II）∵ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=a，∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$ρcosθ+$\frac{\sqrt{2}}{2}ρsinθ$=a，
∴曲线C的直角坐标方程为$\sqrt{2}x+\sqrt{2}y-2a=0$．
∵直线C与动点A的轨迹有且仅有一个公共点，
∴$\frac{|2\sqrt{2}-2\sqrt{2}-2a|}{2}$=3，解得a=3或a=-3．

点评 本题考查了参数方程，极坐标方程与普通方程的转化，直线与圆的位置关系，属于基础题．