Question

已知函数，．
（Ⅰ）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值；
（Ⅱ）求函数的单调区间；
（Ⅲ）设，当时，都有成立，求实数的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ），（Ⅱ）当时，的单调增区间为；当时，的单调增区间是，的单调减区间是． （Ⅲ）.

试题分析：（Ⅰ）利用导数的几何意义，曲线在点处的切线斜率为在点处的导数值. 由已知得．所以．，（Ⅱ）利用导数求函数单调区间，需明确定义域，再导数值的符号确定单调区间. 当时，,所以的单调增区间为．当时,令，得，所以的单调增区间是；令，得，所以的单调减区间是．（Ⅲ）不等式恒成立问题，一般利用变量分离转化为最值问题. “当时，恒成立”
等价于“当时，恒成立．”设，只要“当时，成立．”
易得函数在处取得最小值，所以实数的取值范围．
（Ⅰ）由已知得．
因为曲线在点处的切线与直线垂直，
所以．所以．
所以．                                            3分
（Ⅱ）函数的定义域是，．  
（1）当时，成立，所以的单调增区间为．
（2）当时，
令，得，所以的单调增区间是；
令，得，所以的单调减区间是．   
综上所述，当时，的单调增区间为；
当时，的单调增区间是，
的单调减区间是．         8分
（Ⅲ）当时，成立，．    
“当时，恒成立”
等价于“当时，恒成立．”
设，只要“当时，成立．”
．
令得，且，又因为，所以函数在上为减函数；  
令得，，又因为，所以函数在上为增函数．
所以函数在处取得最小值，且．
所以．  又因为，
所以实数的取值范围．                       13分
（Ⅲ）另解：
（1）当时，由（Ⅱ）可知， 在上单调递增，所以．
所以当时，有成立．
（2）当时， 可得．
由（Ⅱ）可知当时，的单调增区间是，
所以在上单调递增，又，所以总有成立．
（3）当时，可得．
由（Ⅱ）可知，函数在上为减函数，在为增函数，
所以函数在处取最小值，
且．
当时，要使成立，只需，
解得．所以．
综上所述，实数的取值范围．