Question

9．已知等比数列{a_n}的所有项均为正数，a₁=1，且a₅=a₄+2a₃成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）数列{a_n+1-λa_n}的前n项和为S_n，若S_n=2ⁿ-1（n∈N^*），求实数λ的值．

Answer 1

分析 （1）设出等比数列的公比，利用a₅=a₄+2a₃求出公比，则数列{a_n}的通项公式可求；
 （2）利用分组求和求出数列{a_n+1-λa_n}的前n项和为S_n，再由S_n=2ⁿ-1（n∈N^*）可得实数λ的值．

解答 解：（1）设数列{a_n}的公比为q＞0，
由a₅=a₄+2a₃成等差数列，得q⁴=q³+2q²，即q²-q-2=0．
解得q=-1（舍），或q=2，
又a₁=1，
∴${a}_{n}={2}^{n-1}$；
（2）由题意可得：S_n=（a₂-λa₁）+（a₃-λa₂）+…+（a_n+1-λa_n）
=（a₂+a₃+…+a_n+1）-λ（a₁+a₂+…+a_n）
=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}-λ\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$=2ⁿ（2-λ）-（2-λ）．
又S_n=2ⁿ-1（n∈N^*），
∴λ=1．

点评 本题考查等比数列的通项公式，考查了等比数列的性质，训练了数列的分组求和，是中档题．