题目内容
已知函数f（x）=x-1-（e-1）lnx，其中e为自然对数的底，则满足f（ex）＜0的x的取值范围为 ．
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程
专题：导数的综合应用
分析：求函数的导数，判断函数的单调性，求出不等式f（x）＜0的解，即可得到结论．
解答：
解：∵f（x）=x-1-（e-1）lnx，
∴函数的定义域为（0，+∞），
函数的导数为f′（x）=1-
=
，
由f′（x）＞0得x＞e-1，此时函数单调递增，
由f′（x）＜0得0＜x＜e-1，此时函数单调递减，
在x=e-1时，函数取得极小值，
∵f（1）=0，f（e）=0，
∴不等式f（x）＜0的解为1＜x＜e，
则f（ex）＜0等价为1＜ex＜e，
即0＜x＜1，
故答案为：（0，1）
∴函数的定义域为（0，+∞），
函数的导数为f′（x）=1-
| e-1 |
| x |
| x-(e-1) |
| x |
由f′（x）＞0得x＞e-1，此时函数单调递增，
由f′（x）＜0得0＜x＜e-1，此时函数单调递减，
在x=e-1时，函数取得极小值，
∵f（1）=0，f（e）=0，
∴不等式f（x）＜0的解为1＜x＜e，
则f（ex）＜0等价为1＜ex＜e，
即0＜x＜1，
故答案为：（0，1）
点评：本题主要考查不等式的求解，根据导数研究函数的单调性是解决本题的关键．
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