Question

设{a_n}是正整数数列，且a₁≤a₂≤…≤a_n≤…．对于m≥1，定义b_m是集合{k∈N₊|a_k≥m}中的最小元素．若a_n=2n-1，则b₄=

 

； 若b_n=2ⁿ，则数列{b_m}的前2^m项的和是

 

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：计算题,新定义,等差数列与等比数列

分析：本题（1）根据b_m的定义求出b₄，从而理解b_m定义；（2）根据等比数列求和公式求和．

解答： 解：（1）∵a_n=2n-1，
∴a₁=1，a₂=3，a₃=5，a₄=7，…
∵b_m是集合{k∈N₊|a_k≥m}中的最小元素，
∴b₄是集合{k∈N₊|a_k≥4}中的最小元素．
∵a₃＞4，a₄＞4，a₅＞4，…
∴k=3，4，5，…
∴b₄=3．
（2）∵b_n=2ⁿ，
∴数列{b_m}首项为b₁=2，公比q=2，
∴数列{b_m}的前2^m项的和为：

2(1-22m)

1-2

=22m+1-2．

点评：解本题第一小题的关键是弄懂定义“b_m”的意义，第二小题是等比数列求和，关键是注意数列的项数．本题有一定难度，属于中档题．