题目内容
已知f（x）=3x2-2x+3，g（x）=a•ex，若存在x∈（0，2]，使g（x）=f（x），求a的取值范围．
考点：函数的零点与方程根的关系
专题：函数的性质及应用
分析：存在x∈（0，2]，使g（x）=f（x）?存在x∈（0，2]，3x2-2x+3=a•ex，变形为a=
=h（x），x∈（0，2]，利用导数与其单调性极值与最值即可得出．
| 3x2-2x+3 |
| ex |
解答：
解：存在x∈（0，2]，使g（x）=f（x）?存在x∈（0，2]，3x2-2x+3=a•ex，
变形为a=
=h（x），x∈（0，2]，
h′（x）=
，
令h′（x）=0，解得x=1或
．
列表如下：
由表格可知：
当x=1时，h（x）取得极小值，h（1）=
，又h（2）=
，h（1）＜h（2），∴当x=1时，函数h（x）取得最小值
．当x=
时，h（x）取得极大值，h（
）=
，又h（0）=3，h（
）＜h（0），∴函数h（x）＜3．
综上可得：函数h（x）的取值范围是：[
，3)．
变形为a=
| 3x2-2x+3 |
| ex |
h′（x）=
| -(3x-5)(x-1) |
| ex |
令h′（x）=0，解得x=1或
| 5 |
| 3 |
列表如下：
| x | （0，1） | 1 | (1，
|
| (
| ||||||
| h′（x） | - | 0 | + | 0 | - | ||||||
| h（x） | 单调递减 | 极小值 | 单调递增 | 极大值 | 单调递减 |
当x=1时，h（x）取得极小值，h（1）=
| 4 |
| e |
| 11 |
| e2 |
| 4 |
| e |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
| 3 |
| 8 | |||
|
| 5 |
| 3 |
综上可得：函数h（x）的取值范围是：[
| 4 |
| e |
点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了存在性问题的等价转化方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．
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