Question

在平面直角坐标系xoy（O为坐标原点）中，椭圆E₁：（a＞b＞0）的两个焦点在圆E₂：x²+y²=a+b上，且椭圆的离心率是．
（Ⅰ）求椭圆E₁和圆E₂的方程；
（Ⅱ）是否存在经过圆E₂上的一点P（x，y）的直线l，使l与圆E₂相切，与椭圆E₁有两个不同的交点A、B，且•=3？若存在，求出点P的横坐标x的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根据椭圆的两个焦点在圆E₂：x²+y²=a+b上，且椭圆的离心率是，建立方程，即可求得椭圆E₁和圆E₂的方程；
（Ⅱ）假设满足条件的直线l存在，由l于为x²+y²=3相切于点P（x，y），可得直线l的方程为xx+yy=3，分类讨论，利用•=3，即可得到结论．
解答：解：（Ⅰ）由题意，a²-b²=a+b，=
∴a=2，b=1
∴椭圆E₁的方程为，圆E₂的方程为x²+y²=3；
（Ⅱ）假设满足条件的直线l存在，由l于为x²+y²=3相切于点P（x，y），可得直线l的方程为xx+yy=3
当y=0时，•=≠3，不合题意；
当y≠0时，与椭圆方程联立，结合x²+y²=3，可得3（1+）x²-24xx+4+24=0
∵-12（1+）（4+24）＞0
∴2＜＜3
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=，x₁x₂=
∴•=x₁x₂+y₁y₂=
∵•=3，∴=3
∴=
∵2＜＜3，
∴存在直线l，此时点P的横坐标为x=±．
点评：本题考查椭圆与圆的标准方程，考查直线与圆、椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，正确运用韦达定理是关键．