Question

在平面直角坐标系xOy中，抛物线y²=2x的焦点为F．设M是抛物线上的动点，则

MO

MF

的最大值为

2 3

3

．

Answer 1

分析：设M（m，n）到抛物线y²=2x的准线x=-

1

2

的距离等于d，由抛物线的定义可得

|MO|

|MF|

=

|MO|

d

，化简为

1+ m- 1 4 m2+m+ 1 4

，利用基本不等式可求得最大值．

解答：解：解：焦点F（

1

2

，0），设M（m，n），则n²=2m，m＞0，设M到准线x=-

1

2

的距离等于d，
则由抛物线的定义得

|MO|

|MF|

=

|MO|

d

=

m2+n2

m+ 1 2

=

m2+2m m2+m+ 1 4

=

1+ m- 1 4 m2+m+ 1 4

，
令

m- 1 4

m2+m+ 1 4

=t，则tm²+（t-1）m+

1

4

t+

1

4

=0，
当t=0时，

|MO|

d

=1；
当t≠0时，tm²+（t-1）m+

1

4

t+

1

4

=0有解的充要条件为：△≥0，
即（t-1）²-4t（

1

4

t+

1

4

）≥0?1-3t≥0，
∴t≤

1

3

．
∴t_max=

1

3

，此时(

|MO|

d

)max=

1+ 1 3

=

2 3

3

．
故答案为：

2 3

3

．

点评：本题考查抛物线的定义、简单性质，基本不等式的应用，体现了换元的思想，把

MO

MF

化为

1+ m- 1 4 m2+m+ 1 4

是解题的关键和难点，属于难题．