Question

【题目】已知在四边形中，，，，.

（1）求的长及四边形的面积；

（2）点为四边形所在平面上一点，若，求四边形面积的最大值及此时点的位置.

Answer 1

【答案】（1）；（2）四边形面积的最大值为，此时且点与点分居于的两侧

【解析】

（1）设，在中，由余弦定理，求得，在中，求得，根据，故，即可求得，由四边形，即可求得四边形的面积；

（2）要使四边形的面积最大，则点和点应在的两侧，且使得的面积最大，在中，根据余弦定理和均值不等式可得，结合三角形面积公式即可求得答案.

（1）设，在中，

由余弦定理，得，

同理在中，.

，

，

即，解得.

，，

又，，

，，

四边形

（2）要使四边形的面积最大，则点和点应在的两侧，且使得的面积最大.

在中，，

，

当且仅当时，等号成立，

即当时，.

又，

，

四边形面积的最大值为，

此时为等边三角形，即且点与点分居于的两侧.