Question

【题目】已知函数．

（1）若曲线在处的切线过点．

① 求实数的值；

② 设函数，当时，试比较与的大小；

（2）若函数有两个极值点，（），求证：．

Answer 1

【答案】(1)①;②见解析;(2)见解析.

【解析】分析：（1）①求出函数的导数，得到切点，表示出切线方程，代入切点的坐标即可求解；

②由，设 ，利用导数得到函数的单调性和最值，即可得到结论．

（2）设通过讨论的范围，得到函数的单调性，根据 得到，进而得到，设，得到单调减函数，即可作出证明．

详解：（1）①因为，所以，

由曲线在处的切点为，

所以在处的切线方程为．

因为切线过点，所以．

②，

由．

设（），所以，

所以在为减函数．

因为，所以当时，有，则；当时，有，则；

当时，有，则．

（2）由题意，有两个不等实根，（）．

设，则（），

当时，，所以在上是增函数，不符合题意；

当时，由，得，

列表如下：

		0
	↗	极大值	↘

由题意，

，解得，所以，

因为，所以．

因为，所以，

所以（）．

令（），

因为，所以在上为减函数，

所以，即，

所以，命题得证．