Question

【题目】已知函数的最大值为， 的图像关于轴对称.

（1）求实数， 的值.

（2）设，则是否存在区间，使得函数在区间上的值域为？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）， .（2）见解析.

【解析】【试题分析】(1)对求导,利用它的单调性求得当时函数取得最大值,解方程求得.根据二次函数的对称轴可求得.(2)由(1)知,利用的二阶导数判断出函数在区间内单调递增,故有, 问题转化为关于的方程在区间内是否存在两个不相等的实根来求解.利用分离常数法将分离出来后利用导数证明不存在.

【试题解析】

（1）由题意得，令，解得，

当时， ，函数单调递增；

当时， ，函数单调递减.

所以当时， 取得极大值，也是最大值，所以，解得.

又的图像关于轴对称，所以，解得.

（2）由（1）知， ，则，所以，令，则对恒成立，

所以在区间内单调递增，所以恒成立，

所以函数在区间内单调递增.

假设存在区间，使得函数在区间上的值域是，

则，

问题转化为关于的方程在区间内是否存在两个不相等的实根，

即方程在区间内是否存在两个不相等的实根，

令， ，则，

设， ，则对恒成立，所以函数在区间内单调递增，故恒成立，所以，所以函数在区间内单调递增，所以方程在区间内不存在两个不相等的实根.

综上所述，不存在区间，使得函数在区间上的值域是.