Question

已知函数.

（1）证明f（x）是奇函数；并求f（x）的单调区间.

（2）分别计算f（4）－5f（2）g（2）和f（9）－5f（3）g（3）的值，由此概括出涉及函数f（x）和g（x）的对所有不等于零的实数x都成立的一个等式，并加以证明.

 

Answer 1

答案：
解析：

解：（1）∵函数f（x）的定义域（－∞，0）∪（0，+∞）关于原点对称，又f（－x）=. ∴f（x）是奇函数. 设x1<x2，x1，x2∈（0，+∞），f（x1）－f（x2）= . ∵， ∴f（x1）－f（x2）<0.∴f（x）在（0，+∞）上单调递增.又f（x）是奇函数，∴f（x）在（－∞，0）上也是单调递增.∴f（x）的单调区间为（－∞，0）和（0，+∞）. （2）算得f（4）－5f（2）·g（2）=0，f（9）－5f（3）·g（3）=0.由此概括出对所有不等于零的实数x有：f（x2）－5f（x）·g（x）=0.因为：f（x2）－5f（x）·g（x）=.