Question

（2013•唐山一模）已知函数f(x)=

mx+n

ex

在x=1处取得极值e^-1．
（I ）求函数f（x）的解析式，并求f（x）的单调区间；
（II）当x＞0 时，试证：f（1+x）＞f（1-x）．

Answer 1

分析：（I）由题意知，在x=1处的导数为零，在x=1处的函数值为e^-1．列出方程即可求出m，n，从而得出函数f（x）的解析式，再求导函数，利用导数大于零单调增，导数小于零单调减得出结果．
（Ⅱ）利用作差法进行证明．设g（x）=f（1+x）-f（1-x）=

1+x

e1+x

-

1-x

e1-x

=

(1+x)e-x-(1-x)ex

e

．构造函数h（x）=（1+x）e^-x-（1-x）e^x=

1+x

ex

-（1-x）e^x，利用导数研究其单调性，从而得出g（x）＞0，从而f（1+x）＞f（1-x）．

解答：解：（Ⅰ）f′（x）=-

mx+n-m

ex

．
依题意，f（1）=e^-1，f′（1）=0，即

(m+n)e-1=e-1 -ne-1=0

解得m=1，n=0．…（4分）
所以f（x）=

x

ex

．
f′（x）=-

x-1

ex

．
当x∈（-∞，1）时，f′（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0．…（6分）
函数f（x）在（-∞，1）单调递增；在（1，+∞）单调递减．
（Ⅱ）设g（x）=f（1+x）-f（1-x）=

1+x

e1+x

-

1-x

e1-x

=

(1+x)e-x-(1-x)ex

e

．…（8分）
设h（x）=（1+x）e^-x-（1-x）e^x=

1+x

ex

-（1-x）e^x，
则h′（x）=

x(e2x-1)

ex

＞0，h（x）在（0，+∞）单调递增，h（x）＞h（0）=0，…（10分）
所以g（x）＞0，从而f（1+x）＞f（1-x）．…（12分）

点评：考查了函数的求导及极值的概念，考查了利用导函数函数求其单调区间，还考查了利用方程求解的思想，属于中档题．