Question

已知函数f（x）=

1

x

+ax+1-a，a∈R，
（1）若f（x）为奇函数，求a的值；
（2）若a=1，试证f（x）在区间（0，1]上是减函数；
（3）若a=1，试求f（x）在区间（0，+∞）上的最小值．

Answer 1

分析：（1）函数的定义域为{x|x≠0}，奇函数满足f（-x）=-f（x），代入已知可得a值；
（2）当a=1时，f（x）=

1

x

+x，任取x₁，x₂∈（0，1]，且x₁＜x₂，可判f（x₁）-f（x₂）＞0，由单调性的定义可得；
（3）当a=1时，函数f（x）在区间（0，1]上是减函数，同理可证函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，由此可得x=1处取最小值，计算可得．

解答：解：（1）函数的定义域为{x|x≠0}，
∵f（x）为奇函数，∴f（-x）=-f（x），
即-

1

x

-ax+1-a=-

1

x

-ax-1+a，
化简可得1-a=-1+a，解得a=1
（2）当a=1时，f（x）=

1

x

+x，
任取x₁，x₂∈（0，1]，且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=

1

x1

+x1-（

1

x2

+x2）
=

(x2-x1)(1-x1x2)

x1x2

，
∵x₁，x₂∈（0，1]，且x₁＜x₂，
∴x₂-x₁＞0，x₁x₂＞0，1-x₁x₂＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在区间（0，1]上是减函数；
（3）由（2）知当a=1时，函数f（x）在区间（0，1]上是减函数，
同理可证函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，
故在区间（0，+∞）上，当x=1时，函数取最小值2

点评：本题考查函数单调性的判断与证明，涉及函数的奇偶性的应用，属中档题．