Question

已知函数f（x）=

1+ln(x+1)

x

（x＞0），
（1）函数f（x） 在区间（0，+∞）上是增函数还是减函数？证明你的结论；
（2）证明：当x＞0时，f（x）＞

3

x+1

恒成立；
（3）试证：（1+1•2）（1+2•3）…[1+n（n+1）]＞e^2n-3（n∈N^*）．

Answer 1

分析：（1）求导函数，确定导数的符号，即可得到结论；
（2）当x＞0时，f（x）＞

3

x+1

恒成立，即证明（x+1）ln（x+1）+1-2x＞0在（0，+∞）上恒成立，令g（x）=（x+1）ln（x+1）+1-2x（x＞0），利用导数求得g（x）的最小值即可；
（3）由（2）知：

1+ln(x+1)

x

＞

3

x+1

（x＞0），从而令x=n（n+1），得ln[1+n（n+1）]＞2-

3

n(n+1)

=2-3（ 

1

n

1

n+1

），对原不等式两边取对数，放缩求和即可证得结论

解答：（1）解：由题意知x＞0，则f′（x）=-

[ 1 x+1 +ln(x+1)]

x2

＜0，
故f（x）在区间（0，+∞）上是减函数；
（2）证明：当x＞0时，f（x）＞

3

x+1

恒成立，即证明（x+1）ln（x+1）+1-2x＞0在（0，+∞）上恒成立，
令g（x）=（x+1）ln（x+1）+1-2x（x＞0），
则g′（x）=ln（x+1）-1，
当x＜e-1时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；当x＞e-1时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，
所以x=e-1时，g（x）取得最小值，且最小值g（e-1）=3-e＞0，
所以当x＞0时，（x+1）ln（x+1）+1-2x＞0在（0，+∞）上恒成立，
故当x＞0时，f（x）＞

3

x+1

恒成立；
（3）证明：由（2）知：

1+ln(x+1)

x

＞

3

x+1

（x＞0），
∴ln（x+1）＞

3x

x+1

-1=2-

3

x+1

＞2-

3

x

，
令x=n（n+1），则ln[1+n（n+1）]＞2-

3

n(n+1)

=2-3（

1

n

1

n+1

），
又ln[（1+1•2）•（1+2•3）•（1+3•4）•…•（1+n（n+1））]=ln（1+1×2）+ln（1+2×3）+…+ln（1+n×（n+1））＞2n-3[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）]=2n-3（1-

1

n+1

）=2n-3+

3

n+1

＞2n-3
所以（1+1•2）•（1+2•3）•（1+3•4）•…•[1+n（n+1）]＞e^2n-3．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查恒成立问题，考查不等式的证明，属于中档题．