Question

设a＞0，b＞0且a+2b=1，

1

a

+

2

b

的最小值为m，记满足x²+y²≤

2

3

m的所有整点（即横坐标，纵坐标均为整数）的坐标为（x_i，y_i）（i=1，2，…，n），则

n

i=1

|x_iy_i|=

 

．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：把

1

a

+

2

b

转化成（a+2b）（

1

a

+

2

b

），整理后利用基本不等式求得其最小值，即m的值，进而根据x²+y²≤

2

3

m枚举出整点，最后求得答案．

解答： 解：∵a+2b=1，
∴

1

a

+

2

b

=（a+2b）（

1

a

+

2

b

）=5+

2a

b

+

2b

a

≥5+4=9，当且仅当a=b=

1

3

时，取等号，
∴m=9，
∵x²+y²≤

2

3

m，
∴x²+y²≤6，
∴其整点坐标为（0，0），（0，±1），（0，±2），（±1，0），（±1，±1），（±1，±2），（±2，0），（±2，±1），共21个，
∴

n

i=1

|x_iy_i|=4×1+4×2+4×2=20．
故答案为：20

点评：本题主要考查了基本不等式的应用．考查了学生推理能力．