如果数列A:a1.a2.-.am.满足:①ai∈Z.$-\frac{m}{2}≤{a i}≤\frac{m}{2}$,②a1+a2+-+am=1.那么称数列A为“Ω 数列．(Ⅰ)已知数列M:-2.1.3.-1,数列N:0.1.0.-1.1．试判断数列M.N是否为“Ω 数列,(Ⅱ)是否存在一个等差数列是“Ω 数列?请证明你的结论,(Ⅲ)如果数列A是“Ω 数列.求证:数列A中必� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

8．如果数列A：a₁，a₂，…，a_m（m∈Z，且m≥3），满足：①a_i∈Z，$-\frac{m}{2}≤{a_i}≤\frac{m}{2}$（i=1，2，…，m）；②a₁+a₂+…+a_m=1，那么称数列A为“Ω”数列．
（Ⅰ）已知数列M：-2，1，3，-1；数列N：0，1，0，-1，1．试判断数列M，N是否为“Ω”数列；
（Ⅱ）是否存在一个等差数列是“Ω”数列？请证明你的结论；
（Ⅲ）如果数列A是“Ω”数列，求证：数列A中必定存在若干项之和为0．

分析（Ⅰ）根据定义直接判断即可得解．
（Ⅱ）假设存在等差数列是“Ω”数列，由a₁+a₂+…+a_m=1，得a₁+am=$\frac{2}{m}$∉Z，与a_i∈Z矛盾，从而可证不存在等差数列为“Ω”数列．
（Ⅲ）将数列A按以下方法重新排列：设S_n为重新排列后所得数列的前n项和（n∈Z且1≤n≤m），任取大于0的一项作为第一项，则满足-$\frac{m}{2}$+1≤S₁≤$\frac{m}{2}$，然后利用反证法，证明即可．

解答（本小题共13分）
解：（Ⅰ）数列M不是“Ω”数列；数列N是“Ω”数列．               …（2分）
（Ⅱ）不存在一个等差数列是“Ω”数列．
证明：假设存在等差数列是“Ω”数列，
则由a₁+a₂+…+a_m=1  得a₁+am=$\frac{2}{m}$∉Z，与a_i∈Z矛盾，
所以假设不成立，即不存在等差数列为“Ω”数列．            …（7分）
（Ⅲ）将数列A按以下方法重新排列：
设S_n为重新排列后所得数列的前n项和（n∈Z且1≤n≤m），
任取大于0的一项作为第一项，则满足-$\frac{m}{2}$+1≤S₁≤$\frac{m}{2}$，
假设当2≤n≤m时，$-\frac{m}{2}+1≤{S_{n-1}}≤\frac{m}{2}$
若S_n-1=0，则任取大于0的一项作为第n项，可以保证-$\frac{m}{2}$+1≤S_n≤$\frac{m}{2}$，
若S_n-1≠0，则剩下的项必有0或与S_n-1异号的一项，否则总和不是1，
所以取0或与S_n-1异号的一项作为第n项，可以保证-$\frac{m}{2}$+1≤S_n≤$\frac{m}{2}$．
如果按上述排列后存在S_n=0成立，那么命题得证；
否则S₁，S₂，…，S_m这m个整数只能取值区间[-$\frac{m}{2}$+1，$\frac{m}{2}$]内的非0整数，
因为区间[-$\frac{m}{2}$+1，$\frac{m}{2}$]内的非0整数至多m-1个，所以必存在S_i=S_j（1≤i＜j≤m），
那么从第i+1项到第j项之和为S_i-S_j=0，命题得证．
综上所述，数列A中必存在若干项之和为0．              …（13分）