题目内容

抛物线y²=2px（p＞0）的准线交x轴于点C，焦点为F．A、B是抛物线上的两点．己知A．B，C三点共线，且|AF|、|AB|、|BF|成等差数列，直线AB的斜率为k，则有

A.
$数学公式$
B.
$数学公式$
C.
$数学公式$
D.
$数学公式$

D
分析：根据抛物线方程求出点C（- $\text{[math]}$ ，0），可得直线AB方程为y=k（x- $\text{[math]}$ ），将其与抛物线方程消去y得到关于x的一元二次方程，由根与系数的关系得到x₁+x₂和x₁x₂关于p、k的式子，结合两点间的距离公式算出|AB|= $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ ．再利用抛物线的定义，得到|AF|+|BF|=x₁+x₂+p= $\text{[math]}$ +p，而|AF|、|AB|、|BF|成等差数列得出|AF|+|BF|=2|AB|，从而建立关于p、k的等式，化简整理得 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，即可解出 $\text{[math]}$ ，得到本题答案．
解答：∵抛物线y²=2px的准线方程为x=- $\text{[math]}$ ，
∴准线与x轴的交点C坐标为（- $\text{[math]}$ ，0）

因此，得到直线AB方程为y=k（x- $\text{[math]}$ ），与抛物线y²=2px消去y，
化简整理，得 $\text{[math]}$ ，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由根与系数的关系得 $\text{[math]}$
∴|AB|= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$
∵|AF|、|AB|、|BF|成等差数列，
∴|AF|+|BF|=2|AB|，
根据抛物线的定义得|AF|=x₁+ $\text{[math]}$ ，|BF|=x₂+ $\text{[math]}$ ，
因此，得到x₁+x₂+p=2 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ +p=2 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ ，
化简得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，约去 $\text{[math]}$ 得 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴（1+k²）（1-k²）= $\text{[math]}$ ，解之得k²= $\text{[math]}$
故选：D
点评：本题给出抛物线准线交对称轴于点C，过点C的直线交抛物线于A、B两点，A、B与焦点F构成的三角形的三边成等差数列，求直线AB的斜率．着重考查了抛物线的定义与简单几何性质，直线与抛物线位置关系等知识点，属于中档题．