Question

1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a²+c²-b²=ac，且$\sqrt{2}$b=$\sqrt{3}$c．
（1）求角A的大小；
（2）设函数f（x）=1+cos（2x+B）-cos2x，求函数f（x）的最大值．

Answer 1

分析 （1）由已知利用余弦定理可求cosB=$\frac{1}{2}$，解得B=$\frac{π}{3}$，由$\sqrt{2}$b=$\sqrt{3}$c利用正弦定理可得$\sqrt{2}$sinB=$\sqrt{3}$sinC，可求sinC，结合范围0＜C＜$\frac{2π}{3}$，可得C，从而可求A的值．
（2）由（1）及三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=1+sin（2x+$\frac{7π}{6}$），利用正弦函数的图象和性质即可得解其最大值．

解答 （本小题满分12分）
解：（1）在△ABC中，因为cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{1}{2}$，所以B=$\frac{π}{3}$．     …（2分）
在△ABC中，因为$\sqrt{2}$b=$\sqrt{3}$c，由正弦定理可得$\sqrt{2}$sinB=$\sqrt{3}$sinC，
所以sinC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0＜C＜$\frac{2π}{3}$，C=$\frac{π}{4}$，故A=$\frac{2π}{3}-\frac{π}{4}=\frac{5π}{12}$．   …（6分）
（2）由（1）得f（x）=1+cos（2x+$\frac{π}{3}$）-cos2x
=1+$\frac{1}{2}$cos2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-cos2x
=1-$\frac{1}{2}$cos2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x
=1+sin（2x+$\frac{7π}{6}$）   …（10分）
∴f（x）_max=2．       …（12分）

点评 本题主要考查了余弦定理，正弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，考查了转化思想和数形结合思想的应用，属于中档题．