Question

3．已知曲线f（x）=$\frac{ax}{{e}^{x}}$在x=0处的切线方程为y=x+b．
（1）求a，b的值；
（2）若对任意x∈（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$），f（x）＜$\frac{1}{m+6x-3{x}^{2}}$恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，计算f（0），f′（0），从而求出a，b的值即可；
（2）问题转化为m＞3x²-6x且m＜$\frac{{e}^{x}}{x}$+3x²-6x，对任意x∈（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$）恒成立，根据函数的单调性求出m的范围即可．

解答 解：（1）由题意得：f′（x）=$\frac{a（1-x）}{{e}^{x}}$，
∵曲线y=f（x）在x=0处的切线方程是y=b+b，
∴f′（0）=a=1，即a=1，又f（0）=0，从而b=0；
（2）由（1）得：f（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$＜$\frac{1}{m+6x-3{x}^{2}}$对任意x∈（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$）恒成立，
∴m＞3x²-6x对任意x∈（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$）恒成立，
从而m≥-$\frac{9}{4}$，
而不等式整理为：m＜$\frac{{e}^{x}}{x}$+3x²-6x，
令g（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$+3x²-6x，则g′（x）=（x-1）（$\frac{{e}^{x}}{{x}^{2}}$+6），
令g′（x）＞0，解得：x＞1，令g′（x）＜0，解得：x＜1，
∴g（x）在（$\frac{1}{2}$，1）递减，在（1，$\frac{3}{2}$）递增，
∴g（x）_min=g（1）=e-3，
∴m的范围是[-$\frac{9}{4}$，e-3）．

点评 本题考查了曲线的切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．