Question

15．如图，在正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，将△AED、△DCF分别沿DE、DF折起，使A、C两点重合于点P，点P在平面DEF上的射影点为H．
（1）求证：B、H、D三点共线；
（2）求二面角P-EF-B的余弦值．

Answer 1

分析 （1）在正方形ABCD中，连接BD交EF于点G，PG．可得：BD⊥EF，点G是EF的中点．利用线面垂直的判定定理可得PD⊥平面PEF，进而得到EF⊥平面PDG，平面PDG⊥平面ABCD．过点P作PH⊥平面ABCD，垂足为H，利用面面垂直的性质定理即可证明．
（2）不妨设AB=2．可得PE⊥PF．可得：∠PGB是二面角P-EF-B的平面角．∠PGD是其补角．利用“等体积法”可得PH．进而得出．

解答 （1）证明：在正方形ABCD中，连接BD交EF于点G，PG．
可得：BD⊥EF，点G是EF的中点．
∵PD⊥PE，PD⊥PF，PE∩PF=P，
∴PD⊥平面PEF，EF?平面PEF，
∴PD⊥EF．
∴EF⊥PD，
∴EF⊥平面PDG．
∴平面PDG⊥平面ABCD．
过点P作PH⊥平面ABCD，垂足为H，
∴PH⊥DG，且点H在BD上，
∴B、H、D三点共线．
（2）解：不妨设AB=2．
由PE²+PF²=1+1=2=EF²，∴PE⊥PF．
∴PG=BG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
由（1）可得：∠PGB是二面角P-EF-B的平面角．
∠PGD是其补角．
S_△DEF=S_{正方形ABCD}-2S_△ADE-S_△BEF
=2²-2×$\frac{1}{2}×2×1$-$\frac{1}{2}×{1}^{2}$=$\frac{3}{2}$．
S_△PEF=$\frac{1}{2}×{1}^{2}$=$\frac{1}{2}$．
∵V_D-PEF=V_P-DEF，
∴$\frac{1}{3}×{S}_{△PEF}$×PD=$\frac{1}{3}×$S_△DEF×PH，
∴PH=$\frac{\frac{1}{2}×2}{\frac{3}{2}}$=$\frac{2}{3}$．
GH=$\sqrt{P{G}^{2}-G{H}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}-（\frac{2}{3}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{6}$
在Rt△PGH中，cos∠PGH=$\frac{GH}{PG}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{6}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=$\frac{1}{3}$．
∴cos∠PGB=$-\frac{1}{3}$．

点评 本题考查了空间位置关系、空间角、三棱锥的体积计算公式、勾股定理，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题．