Question

在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且角C=

π

3

，a+b=λc其中λ＞1．
（1）若c=λ=2，求角B的值；
（2）若

AC

•

BC

=

1

6

（λ⁴+3），求边长c的最小值并判定此时△ABC的形状．

Answer 1

考点：余弦定理,平面向量数量积的运算

专题：解三角形

分析：（1）已知等式利用正弦定理化简，将λ与sinC的值代入，并用B表示出C，利用两角和与差的正弦函数公式化简，即可确定出B的度数；
（2）利用平面向量的数量积运算法则化简已知等式左边，将cosC的值代入，与已知等式联立表示出c²，利用基本不等式求出c的最小值，得出此时c的值，进而求出a与b的值，即可做出判断．

解答： 解：（1）已知等式a+b=λc，利用正弦定理化简得：sinA+sinB=λsinC，
∵λ=2，C=

π

3

，
∴sinB+sin（

2π

3

-B）=

3

，
整理得：sinB+sin（

π

3

+B）=

3

2

sinB+

3

2

cosB=

3

sin（B+

π

6

）=

3

，
即sin（B+

π

6

）=1，
解得：B=

π

3

；
（2）由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC=（a+b）²-3ab，
∵

AC

•

BC

=abcosC=

1

2

ab=

1

6

（λ⁴+3），
∴ab=

1

3

（λ⁴+3），
∵a+b=λc，
∴c²=λ²c²-（λ⁴+3），即c²=

λ4+3

λ2-1

=（λ²-1）+

4

λ2-1

+2≥6，
∴c_min=

6

，当且仅当λ=

3

时取等号，
此时c=

6

，ab=4，a+b=3

2

，
解得：a=

2

，b=2

2

，c=

6

或a=2

2

，b=

2

，c=

6

，
则△ABC为直角三角形．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，平面向量的数量积运算，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理是解本题的关键．