Question

5．已知函数f（x）=（a+2cos²x）cos（2x+θ）为奇函数，且f（$\frac{π}{4}$）=0，其中a∈R，θ∈（0，π），则f（$\frac{3π}{16}$）=-$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

Answer 1

分析 把x=$\frac{π}{4}$代入函数解析式可求得a的值，进而根据函数为奇函数推断出f（0）=0，进而求得cosθ，则θ的值可得，即可求出f（$\frac{3π}{16}$）．

解答 解：f（$\frac{π}{4}$）=-（a+1）sinθ=0，
∵θ∈（0，π）．
∴sinθ≠0，
∴a+1=0，即a=-1
∵f（x）为奇函数，
∴f（0）=（a+2）cosθ=0，
∴cosθ=0，θ=$\frac{π}{2}$．
∴f（x）=（-1+2cos²x）cos（2x+$\frac{π}{2}$）=-$\frac{1}{2}$sin4x，
∴f（$\frac{3π}{16}$）=-$\frac{1}{2}$sin$\frac{3π}{4}$=-$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
故答案为：-$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

点评 本题主要考查了同角三角函数关系，三角函数恒等变换的应用，函数奇偶性问题．综合运用了所学知识解决问题的能力．