Question

20．已知数列{a_n}满足：a_n≠0，a₁=$\frac{1}{3}$，a_n-a_n+1=2a_n•a_n+1．（n∈N^*）．
（1）求证：{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是等差数列，并求出a_n；
（2）证明：a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1＜$\frac{1}{6}$．

Answer 1

分析 （1）两边除以a_n•a_n+1，由等差数列的定义和通项公式，即可得证，由等差数列的通项公式即可得到；
（2）运用数列的求和方法：裂项相消求和，运用不等式的性质，即可得证．

解答 证明：（1）a₁=$\frac{1}{3}$，a_n-a_n+1=2a_n•a_n+1．可得
$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=2，则{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是首项为3，公差为2的等差数列，
$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{1}}$+2（n-1）=3+2（n-1）=2n+1，
即有a_n=$\frac{1}{2n+1}$；
（2）证明：a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1=$\frac{1}{3•5}$+$\frac{1}{5•7}$+…+$\frac{1}{（2n+1）（2n+3）}$
=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$+…+$\frac{1}{2n+1}$-$\frac{1}{2n+3}$）
=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{2n+3}$）=$\frac{1}{6}$-$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{2n+3}$＜$\frac{1}{6}$．

点评 本题考查等差数列的定义和通项公式的运用，考查数列的求和方法：裂项相消求和，注意运用不等式的性质，属于中档题．