Question

4．已知函数f（x）=xe^mx．
（1）若函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线的斜率为2e，求函数f（x）在[-2，2]上的最小值；
（2）若关于x的方程f（x）=$\frac{1}{x}$在（0，+∞）上有两个解，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）f（x）=xe^mx，f′（x）=e^mx+mxe^mx，由f′（1）=2e，解得m=1．可得f（x）=xe^x，f′（x）=（1+x）e^x，令f′（x）=0，解得x=-1．即可得出极小值与最小值．
（2）f′（x）=e^mx+mxe^mx=（1+mx）e^mx，x∈（0，+∞）．对m分类讨论，转化为函数y=f（x）与函数y=$\frac{1}{x}$的图象的交点的个数．

解答 解：（1）f（x）=xe^mx，f′（x）=e^mx+mxe^mx，
f′（1）=e^m+me^m=2e，解得m=1．
∴f（x）=xe^x，f′（x）=（1+x）e^x，令f′（x）=0，解得x=-1．
令f′（x）＞0，解得x＞-1，此时函数f（x）单调递增；令f′（x）＜0，解得x＜-1，此时函数f（x）单调递减．
∴x=-1时，函数f（x）取得极小值即最小值，f（-1）=-e^-1=-$\frac{1}{e}$．
（2）f′（x）=e^mx+mxe^mx=（1+mx）e^mx，x∈（0，+∞）．
①m≥0时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增，
函数y=$\frac{1}{x}$在x∈（0，+∞）单调递减，因此此时两个函数的图象最多有一个交点，不满足题意，舍去．
②m＜0时，f′（x）=m（x-$\frac{1}{-m}$）e^mx，令f′（x）=0，解得x=$\frac{1}{-m}$＞0．
可知：x＞$\frac{1}{-m}$时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；0＜x＜$\frac{1}{-m}$时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增．
∴x=$\frac{1}{-m}$时，函数f（x）取得极大值即最大值，$f（-\frac{1}{m}）$=$-\frac{1}{me}$．
若关于x的方程f（x）=$\frac{1}{x}$在（0，+∞）上有两个解，则$f（-\frac{1}{m}）$=$-\frac{1}{me}$＞$\frac{1}{-\frac{1}{m}}$，解得m＜-$\frac{\sqrt{e}}{e}$．
综上可得：关于x的方程f（x）=$\frac{1}{x}$在（0，+∞）上有两个解，实数m的取值范围是$（-∞，-\frac{\sqrt{e}}{e}）$．

点评 本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值、不等式的解法、分类讨论方法、方程的解法转化为函数图象的交点，考查了推理能力与计算能力，属于难题．