Question

15．已知函数f（x）=lnx+ax．
（1）若函数f（x）在x=1处的切线方程为y=2x+m，求实数a和m的值；
（2）若函数f（x）在定义域内有两个不同的零点x₁，x₂，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，利用切线方程，斜率关系，求解a，然后求解m即可．
（2）由（1）知$f'（x）=\frac{1}{x}+a=\frac{1+ax}{x}（x＞0）$．当a≥0时，当a＜0时利用函数的单调性以及函数的极值，转化求解即可．

解答 解：（1）∵f（x）=lnx+ax，∴$f'（x）=\frac{1}{x}+a$．…（1分）
∵函数f（x）在x=1处的切线方程为y=2x+m，
∴f'（1）=1+a=2，得a=1．…（3分）
又∵f（1）=ln1+a=1，∴函数f（x）在x=1处的切线方程为y-1=2（x-1），即y=2x-1，
∴m=-1．…（6分）
（2）由（1）知$f'（x）=\frac{1}{x}+a=\frac{1+ax}{x}（x＞0）$．
当a≥0时，∵$f'（x）=\frac{1+ax}{x}＞0$，∴函数f（x）=lnx+ax在（0，+∞）上单调递增，
从而函数f（x）至多有一个零点，不符合题意；…（9分）
当a＜0时，∵$f'（x）=\frac{{a（x+\frac{1}{a}）}}{x}（x＞0）$，
∴函数f（x）在$（0，-\frac{1}{a}）$上单调递增，在$（-\frac{1}{a}，+∞）$上单调递减，
∴函数$f{（x）_{max}}=f（-\frac{1}{a}）=ln（-\frac{1}{a}）+a（-\frac{1}{a}）=ln（-\frac{1}{a}）-1$．…（12分）
∴要满足函数f（x）在定义域内有两个不同的零点x₁，x₂，必有$f{（x）_{max}}=ln（-\frac{1}{a}）-1＞0$，
得$a＞-\frac{1}{e}$．…（14分）
∴实数a的取值范围是$（-\frac{1}{e}，0）$．…（15分）

点评 本题考查函数的导数的应用，切线方程以及函数的极值以及函数的单调性的应用，考查转化思想以及计算能力．