Question

△abc的三边为a，b，c，面积为s，若a=3，且4S=

3

（b²+c²-a²），则

b+c

sinB+sinC

=（　　）

• A、2
• B、2

  3

• C、3
• D、3

  2

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：解三角形

分析：由余弦定理得cosA=

b2+c2-a2

2bc

，则b²+c²-a²=2bccosA，由三角形的面积公式化简已知的式子后再代入，由特殊角的三角函数值和内角的范围求出角A，由正弦定理和条件求出

b+c

sinB+sinC

的值．

解答： 解：由余弦定理得，cosA=

b2+c2-a2

2bc

，则b²+c²-a²=2bccosA，
因为4S=

3

（b²+c²-a²），
所以4×

1

2

bcsinA=

3

（b²+c²-a²），则2bcsinA=2

3

bccosA，
即sinA=

3

cosA，所以tanA=

3

，
由0＜A＜π得，A=

π

3

，
由正弦定理得

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

，又a=3，
则

b

sinB

=

c

sinC

=

3

sin π 3

=2

3

，所以b=2

3

sinB，c=2

3

sinC，
所以

b+c

sinB+sinC

=2

3

，
故选：B．

点评：本题考查正弦、余弦定理的综合应用，三角形的面积公式，注意三角形内角的范围，属于中档题．