Question

已知∠ABC=90°，PA⊥平面ABC，若PA=AB=BC=1，则四面体PABC的外接球（顶点都在球面上）的表面积为（　　）

• A、π
• B、

  3

  π
• C、2π
• D、3π

Answer 1

考点：球的体积和表面积

专题：计算题,空间位置关系与距离

分析：取PC的中点O，连结OA、OB．由线面垂直的判定与性质，证出BC⊥PB且PA⊥AC，得到△PAC与△PBC是具有公共斜边的直角三角形，从而得出OA=OB=OC=OP=

1

2

PC，所以P、A、B、C四点在以O为球心的球面上．根据题中的数据，利用勾股定理算出PC长，进而得到球半径R=

3

2

，利用球的表面积公式加以计算，可得答案．

解答： 解：取PC的中点O，连结OA、OB
∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴PA⊥BC，
又∵AC⊥BC，PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC，
∵PB?平面PAC，∴BC⊥PB，
∵OB是Rt△PBC的斜边上的中线，OB=

1

2

PC．
同理可得：Rt△PAC中，OA=

1

2

PC，
∴OA=OB=OC=OP=

1

2

PC，可得P、A、B、C四点在以O为球心的球面上．
Rt△ABC中，AB=BC=1，可得AC=

2

，
Rt△PAC中，PA=1，可得PC=

3

．
∴球O的半径R=

1

2

PC=

3

2

，可得球O的表面积为S=4πR²=3π．
故选：D．

点评：本题给出特殊的三棱锥，由它的外接球的表面积．着重考查了线面垂直的判定与性质、勾股定理与球的表面积公式等知识，属于中档题．