Question

1．已知函数f（x）是（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，且x＞0时，f（x）=2^x．
（1）求x＜0时，f（x）的解析式；
（2）对任意的x₁，x₂∈（-∞，0），试比较$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$与f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）的大小关系．

Answer 1

分析 （1）根据函数奇偶性的性质，利用对称性进行求解即可．
（2）代入，利用基本不等式进行比较．

解答 解：（1）若x＜0，则-x＞0，
∵当x＞0时，f（x）=2^x，
∴当-x＞0时，f（-x）=2^-x，
∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（-x）=2^-x=-f（x），
则f（x）=-2^-x，x＜0；
（2）对任意的x₁，x₂∈（-∞，0），$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$=-$\frac{{2}^{{x}_{1}}+{2}^{{x}_{2}}}{2}$≤-${2}^{\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}}$
∴$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$≤f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）．

点评 本题主要考查函数解析式的求解，利用函数奇偶性的对称性是解决本题的关键．