Question

10．在平面直角坐标xOy中，已知圆C₁：x²+y²=4，圆C₂：（x-2）²+y²=4．
（1）在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别求圆C₁，C₂的极坐标方程；
（2）求圆C₁与C₂的公共弦的参数方程．

Answer 1

分析 （1）由x²+y²=ρ²，ρsinθ=y，ρcosθ=x，能求出圆C₁，C₂的极坐标方程．
（2）联立$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}=4}\\{（x-2）^{2}+{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，求出圆C₁，C₂交点直角坐标为$（1，\;\;\sqrt{3}），\;\;（1，-\sqrt{3}）$，由此能求出圆C₁与C₂的公共弦的参数方程．

解答 解：（1）∵圆C₁：x²+y²=4，
∴C₁的极坐标方程为ρ=2，
∵圆C₂：（x-2）²+y²=4，即x²+y²-4x=0，
∴圆C₂的极坐标方程为ρ=4cosθ．…（4分）
（2）联立$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}=4}\\{（x-2）^{2}+{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=\sqrt{3}}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=-\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴圆C₁，C₂交点直角坐标为$（1，\;\;\sqrt{3}），\;\;（1，-\sqrt{3}）$． …（7分）
故圆C₁与C₂的公共弦的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=t（-\sqrt{3}≤t≤\sqrt{3}）\end{array}\right.$…（10分）
注：第（1）小题中交点的极坐标表示不唯一；第（2）小题的结果中，若未注明参数范围，扣（2分）．

点评 本题考查圆的极坐标方程的求法，考查两圆的公共弦的参数方程的求法，考查直角坐标方程、参数方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．