Question

已知直线l₁过点A（2，1），B（0，3），直线l₂的斜率为-3且过点C（4，2）．
（Ⅰ）求l₁、l₂的交点D的坐标；
（Ⅱ）已知点M(-2，2)，N(

15

2

，

7

2

)，若直线l₃过点D且与线段MN相交，求直线l₃的斜率k的取值范围．

Answer 1

考点：直线的斜率

专题：直线与圆

分析：（I）先求出直线l₁和l₂所在的直线方程，然后联立两个方程即可求出交点坐标；
（II）首先得出直线l₃和线段MN所在直线的方程，然后联立两直线方程即可求出斜率的范围．

解答： 解：（Ⅰ）∵直线l₁过点A（2，1），B（0，3），
∴直线l₁的方程为

y-1

x-2

=

3-1

0-2

，即y=-x+3…（2分）
又∵直线l₂的斜率为-3且过点C（4，2）
∴直线l₂的方程为y-2=（-3）（x-4），即y=-3x+14…（4分）
∴

y=-3x+14 y=-x+3

，解得

x= 11 2 y=- 5 2

即l₁、l₂的交点D坐标为(

11

2

，-

5

2

)…（6分）
说明：在求直线l₁的方程的方程时还可以利用点斜式方程或一般式方程形式求解．
（Ⅱ）由题设直线l₃的方程为y+

5

2

=k(x-

11

2

)…（7分）
又由已知可得线段MN的方程为3x-19y+44=0(-2≤x≤

15

2

)…（8分）
∵直线l₃且与线段MN相交
∴

y+ 5 2 =k(x- 11 2 ) 3x-19y+44=0(-2≤x≤ 15 2 )

解得-2≤

209k+183

38k-6

≤

15

2

…（10分）
得k≤-

3

5

或k≥3
∴直线l₃的斜率k的取值范围为k≤-

3

5

或k≥3．…（12分）

点评：本题考查了两直线交点坐标的求法以及直线斜率的应用，属于中档题．