Question

2．在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为矩形，其中PA=AB=AD=2，若M，N分别为线段PB，PD的中点，Q为底面ABCD内一动点（包括边界），则$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$的取值范围是[$\frac{1}{2}$，5]．

Answer 1

分析 建立空间坐标系利用向量的坐标运算即可求出答案．

解答 解：以A为坐标原点，以PA所在的直线为z轴，AB所在的直线为x轴，AD所在的直线为y轴，
∵PA=AB=AD=2，
∴A（0，0，0），B（2，0，0），D（0，2，0），
P（0，0，2），
∵M，N分别为线段PB，PD的中点，
∴M（1，0，1），N（0，1，1），
设O（x，y，0），0≤x，y≤2，
∴$\overrightarrow{OM}$=（1-x，-y，1），$\overrightarrow{ON}$=（-x，1-y，1），
∴$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=-x（1-x）-y（1-y）+1=x²-x+y²-y+1=（x-$\frac{1}{2}$）²+（y-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{2}$，
当x=y=$\frac{1}{2}$时，有最小值为$\frac{1}{2}$，
当x=y=2时，有最大值为5，
∴则$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$的取值范围是[$\frac{1}{2}$，5]，
故答案为：[$\frac{1}{2}$，5]．

点评 本题考查了向量的空间坐标系和向量的数量积的运算，属于中档题．