已知点A.P是平面上一动点.且满足$|{\overrightarrow{PB}}|•|{\overrightarrow{BA}}|=\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{BA}$.设点P的轨迹是曲线C．(1)求曲线C的方程,(2)将直线AB绕点A逆时针旋转$θ$得到AB'.若AB'与曲线C恰好只有一个公共点D.求D点的坐标,中的D� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

12．已知点A（0，-2），B（0，2），P是平面上一动点，且满足$|{\overrightarrow{PB}}|•|{\overrightarrow{BA}}|=\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{BA}$，设点P的轨迹是曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）将直线AB绕点A逆时针旋转$θ（0＜θ＜\frac{π}{2}）$得到AB'，若AB'与曲线C恰好只有一个公共点D，求D点的坐标；
（3）过（2）中的D点作两条不同的直线DE、DF分别交曲线C于E、F，且DE、DF的斜率k₁、k₂满足k₁•k₂=3，求证：直线EF过定点，并求出这个定点坐标．

分析（1）设点P的坐标为（x，y），由$|{\overrightarrow{PB}}|•|{\overrightarrow{BA}}|=\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{BA}$得$\sqrt{{x^2}+{{（y-2）}^2}}=2+y$，化简即可得出．
（2）由题意知可设AB'的方程为y=kx-2，与抛物线方程联立化为：x²-8kx+16=0，△=0，解得k．直线AB绕点A逆时针旋转$θ（0＜θ＜\frac{π}{2}）$得到AB'，即可得出．
（3）设点E、F的坐标分别为（x₁，y₁）、（x₂，y₂），由（2）知D（-4，2），利用k₁•k₂=3，可得$\frac{{{y_1}-2}}{{{x_1}+4}}•\frac{{{y_2}-2}}{{{x_2}+4}}=3$，由E、F在曲线C上，$x_1^2=8{y_1}，x_2^2=8{y_2}$代入上式整理得：x₁x₂-4（x₁+x₂）-176=0，直线EF的方程为：$y=\frac{{{y_1}-{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}（x-{x_1}）+{y_1}$，代入化简即可得出．

解答解：（1）设点P的坐标为（x，y），由$|{\overrightarrow{PB}}|•|{\overrightarrow{BA}}|=\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{BA}$得$\sqrt{{x^2}+{{（y-2）}^2}}=2+y$，
化简得x²=8y，即曲线C的方程是x²=8y．
（2）由题意知可设AB'的方程为y=kx-2，
由$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx-2}\\{{x^2}=8y}\end{array}}\right.$消去y得：x²-8kx+16=0（※），
∴△=64k²-64=0，∴k=±1，
∵直线AB绕点A逆时针旋转$θ（0＜θ＜\frac{π}{2}）$得到AB'，
∴k=-1代入（※）式解得x=-4，∴y=2，
∴点D的坐标是（-4，2）．
（3）设点E、F的坐标分别为（x₁，y₁）、（x₂，y₂），由（2）知D（-4，2），
∵k₁•k₂=3，∴$\frac{{{y_1}-2}}{{{x_1}+4}}•\frac{{{y_2}-2}}{{{x_2}+4}}=3$，
∵E、F在曲线C上，∴$x_1^2=8{y_1}，x_2^2=8{y_2}$代入上式整理得：x₁x₂-4（x₁+x₂）-176=0，
直线EF的方程为：$y=\frac{{{y_1}-{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}（x-{x_1}）+{y_1}$，即$y=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{8}（x-{x_1}）+\frac{x_1^2}{8}=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{8}x-\frac{{{x_1}{x_2}}}{8}$，
∴$y=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{8}x-\frac{{4（{x_1}+{x_2}）+176}}{8}$，即$y=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{8}（x-4）-22$，
∴直线EF过定点（4，-22）