Question

已知函数f（x）=log

1

2

1-ax

x-1

的图象关于原点对称，其中a为常数．
（1）求a的值；
（2）若当x∈（1，+∞）时，f（x）+log

1

2

(x-1)＜m恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：对数函数的图像与性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据奇函数性质和对数的运算性质即可解得
（2）根据对数函数的单调性即可求出

解答： 解：（1）由题意可得，f（x）为奇函数，故有 f（-x）=-f（x），即log

1

2

1-ax

x-1

=-log

1

2

1+ax

-x-1

，
∴

1-a2x2

1-x2

=1，
∴解得a=±1．
经检验，当a=1时不合条件，故a=-1．
（2）∵a=-1，
∴f（x）=log

1

2

1+x

x-1

，
∵当x∈（1，+∞）时，f（x）+log

1

2

(x-1)＜m恒成立，
∴log

1

2

1+x

x-1

+log

1

2

(x-1)＜m恒成立，
∴m＞log

1

2

(x+1)在x∈（1，+∞）时，恒成立
∴m＞log

1

2

（1+1）=-1
∴实数m的取值范围为（-1，+∞）

点评：本题主要考查函数的奇偶性和单调性，函数恒成立的问题，属于中档题．