Question

已知、分别为椭圆：的上、下焦点，其中也是抛物线： 的焦点，点是与在第二象限的交点，且。

（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知点（1，3）和圆：，过点的动直线与圆相交于不同的两点，在线段取一点，满足：，（且）。
求证：点总在某定直线上。

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）设由可得由可得⑤×⑦得：，⑥×⑧得：，两式相加得又点A，B在圆上，且，
所以，即，所以点Q总在定直线上

试题分析：（1）由：知（0，1），设 ，因M在抛物线上，故
 ①      又，则 ②，
由①②解得                  （3分）
椭圆的两个焦点（0，1），，点M在椭圆上，有椭圆定义可得
 
∴又，∴，椭圆的方程为：    （6分）
（2）设，
由可得：，
即 （9分）
由可得：，
即
⑤×⑦得：
⑥×⑧得：                           （10分）
两式相加得         （11分）
又点A，B在圆上，且，
所以，
即，所以点Q总在定直线上              （12分）
点评：解题时充分利用抛物线的定义：抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，能使解题过程简化；第二问中的向量关系常转化为点的坐标关系，证明点在定直线上的主要思路是验证点的坐标始终满足于某直线方程