题目内容

设f（x）=
2x+4
4x+8
，求证：对任意实数a，b，不等式f（a）＜b2-3b+
21
4
恒成立．
考点：基本不等式在最值问题中的应用
专题：证明题,不等式的解法及应用
分析：求出f（a）的最大值，b2-3b+
21
4
的最小值，即可证明．
解答： 证明：f（x）=
2x+4
4x+8
=
16
2x+
8
2x
≤
16
4
2
=2
2
，当且仅当2x=
8
2x
时，即x=
3
2
时，等号成立
∴f（x）的最大值为2
2
，
∴f（a）的最大值为2
2

∵b2-3b+
21
4
=(b-
3
2
)2+3，∴当b=
3
2
时，b2-3b+
21
4
有最小值3，
∴对任意实数a，b都有f（a）＜b2-3b+
21
4
．
点评：本题考查基本不等式在最值问题中的应用，考查不等式的证明，正确求最值是关键．
练习册系列答案
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昌铜高速于2012年10月28日全线通车，它缩短了南昌、奉新、靖安、宜丰和铜鼓之间的时空距离，极大的提高了宜春市公路网的等级结构．昌铜高速全长约180km，假设某汽车从铜鼓进入高速公路后，以不低于60km/小时且不高于120km/小时的速度匀速行驶到南昌，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由固定部分和可变部分组成，固定部分为200元，可变部分与速度的平方成正比，当汽车以最快速度行驶时，每小时的运输成本为488元，若使汽车的全程运输成本最低，其速度为（　　）km/小时．
A、80B、90
C、100D、110
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的两个顶点为A1（-a，0），A2（a，0），与y轴平行的直线交椭圆于P1、P2，求A1P1与A2P2交点的轨迹方程．
已知函数f（x）=ax2+bx+c（b＞0），若对于任意实数x，总有f（x）≥0，求
f(1)
b
的最小值．
等比数列{an}中，已知an＞0，a1=2，a2+a3=24．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列{
1
2
an+1}的前n项和Sn．
已知α为第二象限角，f（α）=
sin(5π-α)sin(
3
2
π+α)cos(
3
2
π-α)tan(-α-π)
sin(3π+α)tan(π-α)sin(-
π
2
-α)

（1）化简f（α）
（2）若cos（α-
3
2
π）=
1
3
，求f（α）的值
（3）若α=-1380°，求f（α）的值．
在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，BD=4，PD⊥平面ABCD，平面PBC⊥平面PBD，二面角P-BC-D为60°．
（1）求证：BC⊥BD；
（2）求点A到平面PBC的距离．
设d为实数，d≠0且d≠-1，数列{an}中a1=d，当n≥2时，an=
C
0
n-1
d+
C
1
n-1
d2+…+
C
n-2
n-1
dn-1+
C
n-1
n-1
dn，数列{bn}对任何正整数n都有：anb1+an-1b2+an-2b3+…a2bn-1+a1bn=2n+1-n-2．
（Ⅰ）证明数列{an}为等比数列；
（Ⅱ）判断数列{bn}是否是等差数列，若是请求出通项公式；若不是，说明理由．
（Ⅲ）若d=1，cn=
3bn-1
3bn-2
，证明：c1c2…cn＞
33n+1
．
（1）一个高为2的圆柱，底面周长为2π，求该圆柱的表面积；
（2）一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，求该圆锥的体积．

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