Question

14．若函数f（x）对任意的x∈R都有f′（x）＞f（x）恒成立，则（　　）

• A． 3f（ln2）＞2f（ln3）
• B． 3f（ln2）=2f（ln3）
• C． 3f（ln2）＜2f（ln3）
• D． 3f（ln2）与2f（ln3）的大小不确定

Answer 1

分析 构造函数g（x），利用导数可判断g（x）的单调性，由单调性可得g（ln2）与g（ln3）的大小关系，整理即可得到答案．

解答 解：令g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，则g′（x）=$\frac{f′（x）-f（x）}{{e}^{x}}$，
因为对任意x∈R都有f′（x）＞f（x），
所以g′（x）＞0，即g（x）在R上单调递增，
又ln2＜ln3，所以g（ln2）＜g（ln3），即$\frac{f（ln2）}{{e}^{ln2}}$＜$\frac{f（ln3）}{{e}^{ln3}}$，即$\frac{f（ln2）}{2}$＜$\frac{f（ln3）}{3}$
即3f（ln2）＜2f（ln3），
故选：C．

点评 本题考查导数的运算及利用导数研究函数的单调性，属中档题，解决本题的关键是根据选项及已知条件合理构造函数，利用导数判断函数的单调性．