Question

5．如图，在棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁⊥底面ABCD，底面ABCD为直角梯形，其中AB∥CD，AB⊥AD，AB=AC=2CD=4，AA₁=3，过AC的平面分别与A₁B₁，B₁C₁交于E₁，F₁，且E₁为A₁B₁的中点．
（Ⅰ） 求证：平面ACF₁E₁∥平面A₁C₁D；
（Ⅱ） 求二面角A₁-AC-E₁的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ） 连接C₁E₁，推导出四边形A₁D₁C₁E₁是平行四边形，从而四边形ADC₁E₁是平行四边形，由此能证明平面ACF₁E₁∥平面A₁C₁D．
（Ⅱ） 法一：分别以$\overrightarrow{DA}$，$\overrightarrow{DC}$，$\overrightarrow{D{D_1}}$的方向为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，利用向量法能求出二面角A₁-AC-E₁的大小．
法二：取分别AC，A₁C₁的中点O，O₁，连结OO₁，OB，O₁B₁，O₁B₁与E₁F₁相交于G₁，连结OG₁，推导出∠O₁OG₁是二面角A₁-AC-E₁的平面角，由此能求出二面角A₁-AC-E₁的大小．

解答 证明：（Ⅰ） 连接C₁E₁，棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁B₁=2D₁C₁，A₁B₁∥C₁D₁，
又E₁为A₁B₁的中点，则A₁E₁$\underline{\underline{∥}}$D₁C₁，
所以四边形A₁D₁C₁E₁是平行四边形，则C₁E₁$\underline{\underline{∥}}$A₁D₁．
又A₁D₁$\underline{\underline{∥}}$AD，所以C₁E₁$\underline{\underline{∥}}$AD．
所以四边形ADC₁E₁是平行四边形，则AE₁∥DC₁．
在棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AC∥A₁C₁．
由于AE₁，AC都在面ACF₁E₁内且相交，DC₁与A₁C₁都在面A₁C₁D内且相交，
所以平面ACF₁E₁∥平面A₁C₁D．（6分）
（Ⅱ） 在棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AC∥平面A₁B₁C₁D₁，
平面AF₁与平面A₁B₁C₁D₁交线为E₁F₁，则AC∥E₁F₁，则A₁C₁∥E₁F₁．
又E₁为A₁B₁的中点，所以F₁为B₁C₁的中点．
方法一：如图，分别以$\overrightarrow{DA}$，$\overrightarrow{DC}$，$\overrightarrow{D{D_1}}$的方向为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，
A（$2\sqrt{3}$，0，0），C（0，2，0），A₁（$2\sqrt{3}$，0，3），E₁（$2\sqrt{3}$，2，3），
所以$\overrightarrow{AC}=（-2\sqrt{3}，\;\;2，\;\;0）$，$\overrightarrow{A{A_1}}=（0，\;\;0，\;\;3）$，$\overrightarrow{A{E_1}}=（0，\;\;2，\;\;3）$．
设平面ACC₁A₁的法向量$\overrightarrow{m}$=（x₁，y₁，z₁），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AC}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{A{A}_{1}}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}-2\sqrt{3}{x_1}+2{y_1}=0\\ 3{z_1}=0\end{array}\right.$，取x₁=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，$\sqrt{3}$，0）．
设平面ACF₁E₁的法向量$\overrightarrow{n}$=（x₂，y₂，z₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{E}_{1}}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}-2\sqrt{3}{x_2}+2{y_2}=0\\ 2{y_2}+3{z_2}=0\end{array}\right.$，取x₂=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}，3，-2$）．
则由cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\sqrt{3}+3\sqrt{3}+0}{\sqrt{1+3+0}•\sqrt{3+9+4}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
所以＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=30°，故二面角A₁-AC-E₁的大小为30°．（12分）
方法二：取分别AC，A₁C₁的中点O，O₁，
连结OO₁，OB，O₁B₁，O₁B₁与E₁F₁相交于G₁，连结OG₁，如图．
由（Ⅰ），△ABC为等边三角形，则AC⊥OB，
在棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
有OO₁⊥平面ABCD，所以AC⊥OO₁．
所以AC⊥平面OBB₁A₁．所以AC⊥OG₁．
故∠O₁OG₁是二面角A₁-AC-E₁的平面角．（9分）
由题OO₁=3，O₁G₁=$\frac{1}{2}{O_1}{G_1}=\sqrt{3}$，则$tan∠{O_1}O{G_1}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
所以∠O₁OG₁=30°，则二面角A₁-AC-E₁的大小为30°．（12分）

点评 本题考查面面平行的证明，考查二面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．