Question

12．如图，直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长均为2，∠BAD=$\frac{π}{3}$，M为BB₁的中点，O_l为上底面对角线的交点．
（Ⅰ）求证：O₁M⊥平面ACM₁；
（Ⅱ）求C_l到平面ACM的距离．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明AC⊥O₁M，根据勾股定理，证明O₁M⊥AM，即可证明：O₁M⊥平面ACM₁；
（Ⅱ）证明C₁到平面ACM的距离等于O₁到平面ACM的距离，即可求C_l到平面ACM的距离．

解答 （Ⅰ）证明：连接AO₁，BD
∵在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，BB₁⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴BB₁⊥AC，
∵四边形ABCD是边长为2的菱形，
∴AC⊥BD，
又∵BD∩BB₁=B，
∴AC⊥平面DBB₁D₁，
又∵O₁M?平面DBB₁D₁，
∴AC⊥O₁M．
∵直四棱柱所有棱长均为2，
∠BAD=$\frac{π}{3}$，M为BB₁的中点，
∴BD=2，AC=2$\sqrt{3}$，B₁M=BM=1，
∴O₁M²=O₁B₁²+B₁M²=2，AM²=AB²+BM²=5，O₁A²=O₁A₁²+A₁A²=7，
∴O₁M²+AM²=O₁A²，
∴O₁M⊥AM．
又∵AC∩AM=A，
∴O₁M⊥平面ACM．…（6分）
（Ⅱ）解：∵A₁C₁∥AC，∴A₁C₁∥平面ACM，
即C₁到平面ACM的距离等于O₁到平面ACM的距离，
由（Ⅰ）得O₁M⊥平面ACM，且O₁M=$\sqrt{2}$，
即点C₁到平面ACM的距离为$\sqrt{2}$．…（12分）

点评 本题考查了线面垂直的判定，点C₁到平面ACM的距离的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．