Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）过点（1，

3

2

），且离心率e=

1

2

．
（1）求椭圆方程；
（2）若直线l：y=

1

2

x+m与椭圆交于不同的两点M，N，且线段MN的垂直平分线过定点G（

1

8

，0），求直线l的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由题意可得

1 a2 + 9 4b2 =1 c a = 1 2 a2=b2+c2

，解得即可；
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），线段MN的中点为P（x₀，y₀）．联立

y= 1 2 x+m x2 4 + y2 3 =1

，化为x²+mx+m²-3=0，利用根与系数的关系与中点坐标公式可得
P(-

m

4

，

7m

8

)．可得线段MN的垂直平分线方程为y-

7m

8

=-2(x+

m

4

)，把G（

1

8

，0）代入解出m即可．

解答： 解：（1）∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）过点（1，

3

2

），且离心率e=

1

2

．
∴

1 a2 + 9 4b2 =1 c a = 1 2 a2=b2+c2

，解得a=2，c=1，b²=3．
∴椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），线段MN的中点为P（x₀，y₀）．
联立

y= 1 2 x+m x2 4 + y2 3 =1

，化为x²+mx+m²-3=0，
∴x1+x2=-

m

2

，x₁x₂=m²-3．
∴x₀=

x1+x2

2

=-

m

4

，y0=

1

2

x0+m=-

m

8

+m=

7m

8

．
∴P(-

m

4

，

7m

8

)．
∴线段MN的垂直平分线方程为y-

7m

8

=-2(x+

m

4

)，
把G（

1

8

，0），代入可得0-

7m

8

=-2(

1

8

+

m

4

)，
解得m=

2

3

．
∴直线l的方程为y-

7

12

=-2(x+

1

6

)，化为8x+4y-1=0．
∴直线l的方程为：8x+4y-1=0．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、中点坐标关系、线段的垂直平分线的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．