Question

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC，D、E分别为AA₁、B₁C的中点，DE⊥平面BCC₁．
（Ⅰ）证明：AB=AC；
（Ⅱ）设二面角A-BD-C为60°，求B₁C与平面BCD所成的角的大小．

Answer 1

分析：（1）连接BE，可根据射影相等的两条斜线段相等证得BD=DC，再根据相等的斜线段的射影相等得到AB=AC；
（2）求B₁C与平面BCD所成的线面角，只需求点B₁到面BDC的距离即可，作AG⊥BD于G，连GC，∠AGC为二面角A-BD-C的平面角，在三角形AGC中求出GC即可．

解答：解：如图
（I）连接BE，∵ABC-A₁B₁C₁为直三棱柱，
∴∠B₁BC=90°，
∵E为B₁C的中点，∴BE=EC．
又DE⊥平面BCC₁，
∴BD=DC（射影相等的两条斜线段相等）而DA⊥平面ABC，
∴AB=AC（相等的斜线段的射影相等）．

（II）求B₁C与平面BCD所成的线面角，
只需求点B₁到面BDC的距离即可．
作AG⊥BD于G，连GC，则GC⊥BD，
∠AGC为二面角A-BD-C的平面角，∠AGC=60°
不妨设AC=2

3

，则AG=2，GC=4
在RT△ABD中，由AD•AB=BD•AG，易得AD=

6

设点B₁到面BDC的距离为h，B₁C与平面BCD所成的角为α．
利用

1

3

S△B1BC•DE=

1

3

S△BCD•h，
可求得h=2

3

，又可求得B1C=4

3

sinα=

h

B1C

=

1

2

，∴α=30°．
即B₁C与平面BCD所成的角为30°．

点评：本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．