Question

已知公差为d的等差数列{a_n}满足d＞0，且a₂是a₁、a₄的等比中项，记b_n=a2n（n∈R），对任意n都有

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

＜2，则公差d的取值范围是（　　）

• A、[

  1

  2

  ，+∞）
• B、（

  1

  2

  ，+∞）
• C、[

  1

  4

  ，

  1

  2

  ）
• D、[

  1

  4

  ，

  1

  2

  ]

Answer 1

考点：等差数列的性质

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：由a₂是a₁和a₄的等比中项，得（a₁+d）²=a₁（a₁+3d），化简得a₁=d，可得a_n=nd，再利用等比数列的求和公式，即可得出结论．

解答： 解：由a₂是a₁和a₄的等比中项，得（a₁+d）²=a₁（a₁+3d），化简得a₁=d，
∴a_n=nd，
∴b_n=a2n=2ⁿd，
∵

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

＜2，
∴

1

d

（

1

2

+

1

4

+…+

1

2n

）＜2，
∴

1

d

（1-

1

2n

）＜2，
∴d≥

1

2

，
故选：B．

点评：本题考查等差数列、等比数列的性质，考查等比数列的求和，比较基础．