Question

3．有下列四个命题：
①在△ABC中，a、b分别是角A、B所对的边，若a＜b，则sinA＜sinB；
②若a＞b，则$-\frac{1}{a}＞-\frac{1}{b}$；
③在正项等比数列{a_n}中，若a₄a₅=9，则log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a₈=8；
④若关于x的不等式mx²+mx+1＞0恒成立，则m的取值范围是[0，4）．
其中所有正确命题的序号为①③④．

Answer 1

分析 由正弦定理结合三角形中的边角关系判断①；举例说明②错误；由等比数列的性质和对数的运算性质判断③；求出m的范围判断④．

解答 解：①在△ABC中，若a＜b，由正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$，得sinA＜sinB，故①正确；
②若a＞b，则$-\frac{1}{a}＞-\frac{1}{b}$错误，如a=1，b=-1；
③在正项等比数列{a_n}中，若a₄a₅=9，则log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a₈=log₃（a₁a₂…a₈）=$lo{g}_{3}（{a}_{4}{a}_{5}）^{4}=lo{g}_{3}{9}^{4}=lo{g}_{3}{3}^{8}=8$，故②正确；
④若关于x的不等式mx²+mx+1＞0恒成立，则m=0或$\left\{\begin{array}{l}{m＞0}\\{{m}^{2}-4m＜0}\end{array}\right.$，即0≤m＜4．
∴m的取值范围是[0，4），故④正确．
故答案为：①③④．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，考查了三角形中的边角关系，考查等比数列的性质和对数的运算性质，训练了恒成立问题的解法，是中档题．