Question

已知椭圆C₁：的离心率为e，且b，e，为等比数列，曲线y=8-x²恰好过椭圆的焦点．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）设双曲线C₂：的顶点和焦点分别是椭圆C₁的焦点和顶点，设O为坐标原点，点A，B分别是C₁和C₂上的点，问是否存在A，B满足．请说明理由．若存在，请求出直线AB的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）先确定c的值，再利用b，e，为等比数列，结合a²=b²+c²，求出几何量，即可得到椭圆C₁的方程；
（2）假设存在A，B满足，则O，A，B三点共线且A，B不在y轴上，设出直线方程与椭圆、双曲线联立，利用共线得到k的方程，即可得到结论．
解答：解：（1）由y=8-x²=0可得x=
∴椭圆的焦点坐标为（，0），即c=
∵b，e，为等比数列，
∴
∵a²=b²+c²
∴
∴椭圆C₁的方程为；
（2）假设存在A，B满足，则O，A，B三点共线且A，B不在y轴上，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB的方程为y=kx
由（1）知，C₂的方程为
直线与椭圆方程联立，可得（1+3k²）x²=12，即=
直线方程与双曲线方程联立，可得（1-2k²）x²=8，即
∵，∴
∴
∴
∴
∴存在A，B满足，此时直线AB的方程为．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查向量知识的运用，考查直线与椭圆、双曲线的位置关系，属于中档题．