Question

已知椭圆C₁：的离心率为，一个焦点坐标为．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）点N是椭圆的左顶点，点P是椭圆C₁上不同于点N的任意一点，连接
NP并延长交椭圆右准线与点T，求的取值范围；
（3）设曲线与y轴的交点为M，过M作两条互相垂直的直线与曲线C₂、椭圆C₁相交于点A、D和B、E，（如图），记△MAB、
△MDE的面积分别是S₁，S₂，当时，求直线AB的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）先利用离心率和焦点坐标，得到一个关于参数的方程组，解这个方程组即可求出参数，进而求出椭圆C₁的方程．
（2）由题设条件行求出N（-2，0），椭圆右准线：x=，设P（x，y），则=，再由-2≤x≤2，能求出的取值范围．
（3）先把直线MA的方程与抛物线方程联立可得点A的坐标，再利用弦长公式求出|MA|，同样的方法求出|MB|进而求出S₁，同理可求S₂．再代入已知就可知道是否存在直线l满足题中条件了．
解答：解：（1）∵椭圆C₁：的离心率为，
一个焦点坐标为，
∴，
∴a=2，c=，b=，
∴椭圆C₁的方程为：．
（2）∵N是椭圆C₁：的左顶点，点P是椭圆C₁上不同于点N的任意一点，
∴N（-2，0），椭圆右准线：x=，
设P（x，y），则=，
∵-2≤x≤2，
∴=∈[，+∞）．
故的取值范围是[，+∞）．
（3）设直线MA的斜率为k₁，则直线MA的方程为y=k₁x-1．
由，解得，或．
则点A的坐标为（k₁，k₁²-1）．
又直线MB的斜率为-，同理可得点B的坐标为（-）．
于是S₁=|MA|•|MB|=•|k₁|••|-|=．
由，得（1+4k₁²）x²-8k₁x=0．
解得，或，则点D的坐标为（，）．
又直线ME的斜率为-．同理可得点E的坐标为（，）．
于是S₂=|MD|•|ME|=．
故=，解得k₁²=2，或k₁²=．
又由点A，B的坐标得，k==k₁-．所以k=±．
故满足条件的直线存在，且有两条，其方程为y=x和y=-．
点评：本题是对椭圆与抛物线以及直线与抛物线和直线与椭圆的综合问题的考查．是一道整理过程很麻烦的题，需要要认真，细致的态度才能把题目作好．