Question

如图，直三棱柱中， ，  ，是的中点，△是等腰三角形，为的中点，为上一点．

（1）若∥平面，求；
（2）平面将三棱柱分成两个部分，求较小部分与较大部分的体积之比．

Answer 1

（1）；（2）.

试题分析：本题主要考查线线平行、线面平行、线线垂直、线面垂直、补体法、几何体的体积公式等基础知识，考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力、计算能力.第一问，取BC中点，由中位线及平行线间的传递性，得到∥∥，即四点共面，利用线面平行的性质，得∥，从而得到E是CN中点，从而得到的值；第二问，利用直三棱柱，得平面，由，利用线面垂直的判定，得平面，利用补体法求几何体的体积，分别求出较小部分和较大部分的体积，再求比值.
试题解析：取中点为，连结，   1分
∵分别为中点
∴∥∥，
∴四点共面，           3分
且平面平面
又平面，且∥平面
∴∥ 
∵为的中点，
∴是的中点，                                            5分
∴．                                                  6分

（2）因为三棱柱为直三棱柱，∴平面，
又，则平面
设，又三角形是等腰三角形，所以.
如图，将几何体补成三棱柱
∴几何体的体积为：
                                                                    9分
又直三棱柱体积为：               11分
故剩余的几何体棱台的体积为：
∴较小部分的体积与较大部分体积之比为：．                    12分