Question

已知棱长为1的正方体ABCDA₁B₁C₁D₁中, P,Q是面对角线A₁C₁上的两个不同动点.
①存在P,Q两点,使BPDQ;
②存在P,Q两点,使BP,DQ与直线B₁C都成45⁰的角;
③若|PQ|=1,则四面体BDPQ的体积一定是定值;
④若|PQ|=1,则四面体BDPQ在该正方体六个面上的正投影的面积的和为定值.
以上命题为真命题的个数是(  )

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

C

试题分析：①存在P,Q两点,使BPDQ是正确的，因为当P为,Q为时BPDQ；②存在P,Q两点,使BP,DQ与直线B₁C都成45⁰的角是错误的，因为BP与直线B₁C所成的角最小角为；③若|PQ|=1,则四面体BDPQ的体积一定是定值是正确的，设与的交点为，则平面，平面将四面体BDPQ分成两个棱锥，高的和为，故体积不变；④若|PQ|=1, ,则四面体BDPQ在该正方体六个面上的正投影的面积的和为定值是正确的，当P,Q在面对角线A₁C₁上移动时，在各个面上的正投影的面积不变，故它的正投影的面积的和为定值．